\(\mathcal{Description}\)

桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。

\(\mathcal{Solution}\)

设\(f[i][j]\)表示有\(i\)张红牌，\(j\)张黑牌的期望收益

考虑翻一张牌，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{i+j}\)的概率翻到红牌，此后就只有\(i-1\)张红牌，\(j\)张黑牌
2. 有\(\frac{j}{i+j}\)的概率翻到黑牌，此后就只有\(i\)张红牌，\(j-1\)张黑牌

需要注意的是，不要忘了翻开的牌的贡献

翻开一张牌后，该颜色牌数目就少了一张

所以有

\(f[i][j]=\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)\)

由于是最优策略，所以咱是不可能赔钱的

\(f[i][j]=max(0,\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1))\)

初值\(f[0][1]=0,f[1][0]=1\)，答案为\(f[R][B]\)

应正向循环

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